La desigualdad de las medias

En varios problemas de optimización se pide estudiar el mínimo o máximo de una función de varias variables de las que se conoce su suma o su producto. Un procedimiento habitual es calcular la derivada de una función sobre la que se ha aplicado ya la restricción que impone la suma o el producto y buscar extremos absolutos entre los puntos críticos. Otro procedimiento común es usar los multiplicadores de Lagrange.

Pero en ocasiones, es más simple usar desigualdades. La función puede quedar acotada superior o inferiormente por alguna constante conocida, como la suma de variables o el producto. Entonces, si existe un caso de igualdad con la acotación, este debe ser el extremo absoluto.

En este artículo se expone una de las desigualdades más útiles para acotación de funciones de varias variables: la desigualdad de las medias.

Generalizando la media

La desigualdad se basa en comparar las distintas formas de calcular una media sobre un conjunto de números reales positivos. Cuando se habla de la media de un conjunto de números, suele referirse a la media aritmética, pero hay varias formas de generalizar este concepto de media.

Por un lado, hay varias medias básicas que funcionan en contextos específicos, como la media geométrica en el cálculo de volúmenes o la media armónica en el cálculo de velocidades. Por otro lado, las medias de Hölder son una generalización que contiene a las medias básicas como caso particular.

Generalizaciones básicas

La media aritmética

La media aritmética ( $\overline{x}$ ) de una serie de valores positivos $x_1, x_2 \dots x_n$ es su promedio. Generaliza el punto medio entre dos valores $\overline{x} = \frac{x_1+x_2}{2}$, definiendo un centro de gravedad que minimiza las desviaciones:

$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$$

Y podemos tomar una media aritmética ponderada otorgando a cada valor un peso específico $\{w_i\}$:

$$\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^n x_iw_i}{\sum_{i=1}^n w_i} = \frac{x_1w_1 + x_2w_2 + \dots + x_nw_n}{w_1+w_2+\dots+w_n}$$

Aquí la media aritmética surge como caso particular tomando pesos: $w_i = \frac{1}{n}$.

La media geométrica

La media geométrica generaliza el punto que es al menor como el mayor es a él $\frac{x_1}{g} = \frac{g}{x_2}$. Sería el lado del hipercubo que tuviera igual volumen al hiperrectángulo que tiene como lados los valores dados:

$$\displaystyle \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} = \sqrt[n]{x_1x_2 \dots x_n}$$

En su versión ponderada:

$$\displaystyle \left( \prod_{i=1}^n x_i^{w_i} \right)^{\frac{1}{\sum_{i=1}^n w_i}} = \sqrt[w_1+w_2+ \dots +w_n]{ x_1^{w_1} x_2^{w_2} \dots x_n^{w_n} }$$

La media armónica

La media armónica, (o harmónica, dependiendo de la pedantería del autor) es inversa de la media aritmética de las inversas de los elementos. Generaliza el punto en el que la razón de las diferencias a él es igual a la razón entre los números: $\frac{x_1-h}{h-x_2} = \frac{x_1}{x_2}$.

Queda definida por:

$$\displaystyle \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}$$

Y en su versión ponderada por:

$$\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^n w_i}{\sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}} = \frac{w_1+w_2+\dots+w_n}{\frac{w_1}{x_1} + \frac{w_2}{x_2} + \dots + \frac{w_n}{x_n}}$$

Además, en un acorde mayor, la frecuencia de nota intermedia es la media armónica de las otras dos notas que componen el acorde. Por ejemplo, el en el acorde de La Mayor $\mathtt{La-Do\#-Mi}$:

$$\begin{array}{l|c} \text{Nota} & \text{Frecuencia} \\ \hline \text{La} & \mathtt{440Hz} \\ \text{Do#} & \mathtt{528Hz} \\ \text{Mi} & \mathtt{660Hz} \\ \end{array}$$

La media cuadrática

La media cuadrática es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los elementos. Queda definida por:

$$\displaystyle \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n}} = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n}}$$

Y en su versión ponderada como:

$$\displaystyle \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2w_i}{\sum_{i=1}^n w_i}} = \sqrt{\frac{x_1^2w_1 + x_2^2w_2 + \dots + x_n^2w_n}{w_1+w_2+\dots+w_n}}$$

La desviación típica, por ejemplo, se define como la media cuadrática de las desviaciones respecto a la media.

Medias de Hölder

Las medias de Hölder generalizan estas medias básicas. ¹ La media de Hölder de exponente $p \in \mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$, para $x \in (\mathbb{R}^+)^n$ es de la forma:

$$M_p ({x}) = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{\frac{1}{p}}$$

Tomando límites para definirla cuando sea necesario:

$$M_0 ({x}) = \lim_{p \to 0} M_p(x)$$ $$M_{+\infty} ({x}) = \lim_{p \to +\infty} M_p(x)$$ $$M_{-\infty} ({x}) = \lim_{p \to -\infty} M_p(x)$$

Las medias anteriores, así como el máximo y el mínimo son casos particulares de las medias de Hölder. Además de los casos triviales, puede demostrarse como ejercicio que los casos $0,+\infty,-\infty$ efectivamente se corresponden con la media geométrica, el máximo y el mínimo. ²

$$\begin{array}{l|c|c} \mathbf{Media} & \mathbf{Exponente} & \mathbf{Expresión} \\[1.5em] \hline \text{Mínimo} & p=-\infty & \min_i{(x_i)} \\[1em] \text{Armónica} & p=-1 & \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}} \\[1em] \text{Geométrica} & p=0 & \sqrt[n]{x_1x_2 \dots x_n} \\[1.5em] \text{Aritmética} & p=1 & \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \\[1em] \text{Cuadrática} & p=2 & \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n}}\\[1em] \text{Máximo} & p=\infty & \max_i{(x_i)} \\[1em] \end{array}$$

Podemos notar que las medias de Hölder para $p \geq 1$ son normas en $\mathbb{R}^n$ si se aplican sobre el vector de valores absolutos. Las normas asociadas a $p=1$, $p=2$, $p=+\infty$ son proporcionales a las normas de la suma, euclídea y del máximo, respectivamente. En general se puede definir la media de exponente $p$ como:

$$\vert\vert x\vert\vert_p = M_p(\vert x\vert) \sqrt[p]{n}$$

La desigualdad

Medias aritmética y geométrica

Las medias aritmética y geométrica cumplen la siguiente desigualdad, que se convierte en igualdad si y sólo si todos los términos son iguales:

$$\sqrt[n]{x_1x_2 \dots x_n} \leq \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$$

Existen muchas demostraciones de la desigualdad, en Wikipedia se da una demostración inductiva. Para usar resultados más propios de Cálculo I, puede usarse la siguiente demostración:

Tenemos que el logaritmo es una función creciente, biyectiva y convexa. Por ser convexa se cumple la desigualdad siguiente:

$$\frac{ln(x_1)+ln(x_2)+\dots+ln(x_n)}{n} \leq ln\left(\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}\right)$$ $$ln\left(\sqrt[n]{x_1x_2 \dots x_n}\right) \leq ln\left(\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}\right)$$

Sabiendo además que es creciente, se obtiene la desigualdad buscada, con caso de igualdad cuando todos los términos son iguales.

La desigualdad de las medias

La desigualdad de las medias usual incluye a las medias armónica y geométrica. Como ejercicio, puede demostrarse la desigualdad armónica-geométrica desde la geométrica-aritmética y la desigualdad aritmética-cuadrática desde la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

La desigualdad completa queda como:

$$\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}} \leq \sqrt[n]{x_1x_2 \dots x_n} \leq \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} \leq \sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}{n}}$$

Desigualdad con medias de Hölder

Todavía puede generalizarse más, notando que, fijado un vector $x \in (\mathbb{R^+})^n$, la siguiente función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es creciente:

$$f(a) = \left\{ \begin{matrix} \left(\frac{x_1^a+x_2^a+\dots+x_n^a}{n}\right)^{1/a} & si & a \neq 0 \\ \displaystyle \sqrt[n]{x_1x_2 \dots x_n} & si & a = 0\end{matrix} \right.$$

Pueden hallarse varias demostraciones de la desigualdad. En particular, puede probarse fácilmente desde la desigualdad de Jensen, la misma que hemos usado para probar la desigualdad entre medias geométrica y aritmética. ³

Cálculo de extremos

Como ejemplos, tomamos dos ejercicios de los apuntes de Cálculo diferencial en una y varias variables, de Francisco Javier Pérez. Ambos se refieren a hallar extremos en el volumen de figuras geométricas. Como la desigualdad de las medias llega a la igualdad cuando todos los términos son iguales, las soluciones suelen ser aquellas que igualan lados o dotan de algún tipo de simetría a la figura.

Maximizando el área

La utilidad de la desigualdad viene dada precisamente por el caso de igualdad, que permite hallar el extremo absoluto de la suma dado el producto o viceversa. Puede verse en el siguiente problema:

Hallar, entre todos los rectángulos de perímetro 4, aquel con área máxima.

Llamando $a,b$ a los lados y $p$ al perímetro, aplicamos la desigualdad entre las medias geométrica y aritmética:

$$A = ab = \left(\sqrt{ab}\right)^2 \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}p\right)^2 = 1$$

Hemos acotado el área posible. Y como el caso de igualdad se da con la igualdad entre términos, tenemos $a=b=1$.

Minimizando el volumen

Trazar un plano que pase por el punto $(1,2,3)$ y que forme con los ejes coordenados un tetraedro de volumen mínimo.

El plano podrá ser escrito como:

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$$

Y para que contenga al punto pedido, deberá cumplirse que:

$$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} - 1 = 0$$

Como el plano cortará a los ejes en los puntos $(a,0,0)$, $(0,b,0)$ y $(0,0,c)$, el área del tetraedro formado será $V=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}ab\right)c$. La acotaremos usando desigualdad entre las medias geométrica y armónica:

$$V = a\frac{b}{2}\frac{c}{3} = \left( \sqrt[3]{a\frac{b}{2}\frac{c}{3}} \right)^3 \geq \left( \frac{3}{a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3}} \right)^3 = 27$$

Dándose el caso de igualdad con la igualdad entre elementos, es decir:

$$a = \frac{b}{2} = \frac{c}{3}$$

Luego $a=3, b=6, c=9$.