Aproximación a Pi

Hoy es el día de $\pi$ (3/14). En este post vamos a presentar una serie de métodos para conseguir aproximaciones numéricas de la constante.

Serie de Leibniz

Uno de los métodos de aproximación a $\pi$ viene dado por la serie de Leibniz:

$$\frac{\pi}{4} = \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}} = \displaystyle{\left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots \right)}$$

Se basa en desarrollar la serie de potencias de la arcotangente:

$$\arctan x = \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}}= \displaystyle{\left(x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots \right)}$$

Y evaluarla en 1. Esta fórmula tiene un pequeño inconveniente: es algo lenta para el cálculo de $\pi$.

Para más información sobre el método, visita Wikipedia y para su demostración, Proofwiki.

Fórmula de Madhava

Otra forma de aproximarlo sería la dada por Madhava:

$$\pi = \displaystyle{\sqrt{12} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(-\frac{1}{3}\right)^n}{2n+1}} = \displaystyle{\sqrt{12} \left(\frac{1}{1 \cdot 3^0} - \frac{1}{3 \cdot 3^1} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots \right)}$$

También está basada en el desarrollo de la arcotangente y en evaluarla en un punto, concretamente, en $\frac{1}{\sqrt{3}}$:

$$\frac{\pi}{6} = \arctan \frac{1}{\sqrt{3}} = \displaystyle{\left(\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3}{3} + \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^5}{5} - \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^7}{7} + \dots \right)} = \displaystyle{\left(\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{5 \cdot 3^2} - \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{7 \cdot 3^3} + \dots \right)}$$

Y despejar $\pi$, la incluyo porque es anterior a la serie de Leibniz, aunque es algo menos conocida. Para más información, visita Wikipedia.

Producto de Wallis

El producto de Wallis:

$$\frac{\pi}{2} = \displaystyle{\prod_{n = 1}^{\infty} \left(\frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} \right)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots$$

Éste producto se basa en que las raíces de $\frac{\sin x}{x}$ son $\pm n\pi$ con $n \in \mathbb{N}$ y, por tanto,

$$\frac{\sin x}{x} = k \prod_{n=0}^{\infty}(x-n\pi)(x+n\pi) = k \prod_{n=0}^{\infty}\left(1-\frac{x}{n\pi}\right)\left(1+\frac{x}{n\pi}\right) = k \prod_{n=0}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{n^2 \pi^2}\right)$$

con $k \in \mathbb{R}$ constante. Tomando límite a 0, se obtiene que $k = 1$. Y para obtener el producto de Wallis, basta con evaluar

$$\frac{\frac{\pi}{2}}{\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{1}{\displaystyle{\prod_{n=0}^{\infty}\left(1-\frac{1}{4n^2}\right)}} = \displaystyle{\prod_{n = 1}^{\infty} \left(\frac{4n^2}{4n^2-1}\right)} = \displaystyle{\prod_{n = 1}^{\infty} \left(\frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} \right)}$$

Para más información general del método, visita Wikipedia; y para su demostración, visita Proofwiki.

Algoritmo de Borwein

Aunque no he logrado entender cómo funciona, incluyo el algoritmo de Borwein ¹ por tener una convergencia nónica (es decir, en cada iteración, se multiplican por 9 el número de dígitos correctos), establece como valores iniciales:

$$a_0 = \frac{1}{3} \mbox{, }r_0 = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}\mbox{ y }s_0 = \sqrt[3]{1 - r_0^3}$$

Y a partir de ahí, para cada iteración se calcula:

$t_{n+1} = 1 + 2r_n$,

$u_{n+1} = \sqrt[3]{9r_n(1+r_n+r_n^2)}$,

$v_{n+1} = t^2_{n+1} + t_{n+1} u_{n+1} + u^2_{n+1}$,

$w_{n+1} = 27 \frac{1 + s_n + s_n^2}{v_{n+1}}$,

$a_{n+1} = w_{n+1} a_n + 3^{2n-1}(1-w_{n+1})$,

$s_{n+1} = \frac{(1-r_n)^3}{(t_{n+1} + 2 u_{n+1}) v_{n+1}}$,

$r_{n+1} = \sqrt[3]{1-s_{n+1}^3}$.

Y en este algoritmo, se obtiene que la sucesción $\{a_n\} \rightarrow \frac{1}{\pi}$.

Más información puede encontrarse aquí.