Generalizando la desigualdad de las medias

La desigualdad de las medias es una herramienta muy útil para resolver problemas de mínimos o máximos. En este post generalizamos los conceptos de media aritmética y geométrica y esta desigualdad en espacios de medida arbitrarios, obteniendo la desigualdad clásica como caso particular.

Espacios de medida

Los espacios de medida son espacios en los que asignamos un valor numérico a cada subconjunto (que interpretamos como una generalización del concepto de volumen o área). Para este post nos restringimos a medidas que asignan valores no negativos (o infinito) a los subconjuntos, pero el concepto puede generalizarse más. La propiedad básica de una medida es que es aditiva cuando los conjuntos son disjuntos (esto es, si dividimos un conjunto en dos partes disjuntas y sumamos los volúmenes individuales debemos obtener el volumen total).

Definición 1

Una medida sobre una clase de conjuntos $\mathcal{A}$ es una función $\mu:\mathcal{A} \to [0,+\infty]$ que cumple:

• Conjunto vacío nulo: $\mu(\varnothing) = 0$

• Aditividad numerable: Dada una colección numerable $\{E_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathcal{A}$ de

subconjuntos disjuntos dos a dos se tiene que:

$$\mu\left(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} E_n\right) = \sum_{n\in\mathbb{N}} \mu(E_n)$$

Por razones técnicas es posible que no podamos asignar un valor a todos los subconjuntos del espacio total (pueden existir conjuntos no medibles) por lo que debemos restringirnos por tanto a una subclase de conjuntos con una mínima estructura.

Definición 2

Un espacio de medida es una tripleta $(X, \mathcal{A}, \mu)$ donde:

• $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(X)$ es un $\sigma$-álgebra

• $\mu:\mathcal{A} \to [0,+\infty]$ es una medida

Dado que no es el objetivo del post no desarrollamos más aquí estos conceptos o sus propiedades básicas. Para una introducción completa puede leerse An introduction to measure theory de Terence Tao.

Ejemplos

1. El ejemplo más sencillo de medida es la cardinalidad. Dado un conjunto $X$ podemos medir cualquier subconjunto suyo ($\mathcal{A} = \mathcal{P}(X)$) contando su número de elementos. Esto es:

   $$\mu(Y) = |Y|$$

   Si el número de elementos de $Y$ es infinito entonces asignamos $\mu(Y) = \infty$.

2. Los espacios de probabilidad son espacios de medida donde $\mu(X) = 1$. En este caso la medida suele notarse con $P$ y es la probabilidad que conocemos.
3. La medida de Lebesgue da una medida para $\mathbb{R}^n$ que coincide con el concepto de longitud, área, volumen…
4. Dado $x \in X$ la medida de Dirac $\delta_x$ indica si $x$ pertenece al conjunto medido: $\delta_x(A) = 1$ si $x \in A$ y $\delta_x(A) = 0$ en otro caso. Este es un caso particular de medida de probabilidad.
5. Cualquier múltiplo de una medida es una medida

Integral e integral geométrica

Dado un espacio de medida $(M, \mathcal{A}, \mu)$ podemos definir un concepto de integral para cualquier función medible. El proceso de construcción consta de los siguientes pasos:

• La integral de una función indicadora es la medida del conjunto que indica:

  $$\int_M 1_A \, \mathrm{d}\mu = \mu(A)$$

• La integral es lineal por tanto la integral de una combinación lineal finita de funciones indicadoras (función simple) puede calcularse:

  $$\int_M \sum_n a_n1_{A_n}\, \mathrm{d}\mu = \sum_n a_n\mu(A_n)$$

• Si $S$ es el conjunto de las funciones simples, la integral de una función medible no negativa es:

  $$\int_M f \, \mathrm{d}\mu = \sup \left\{\int_M s \, \mathrm{d}\mu \; : \; 0 \leq s \leq f, \, s \in S\right\}$$

• En el caso de funciones complejas dividimos la función en su parte real e imaginaria y cada una de estas en su parte positiva y negativa y calculamos las integrales por separado. En el caso de que obtengamos valores finitos y no haya indeterminaciones (esto es, la función sea integrable) hemos definido la integral

La integral así definida es lineal y creciente y además verifica la siguiente propiedad: dado un subconjunto numerable $\{E_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathcal{A}$ de subconjuntos disjuntos dos a dos se tiene que

$$\int_{\bigcup_{n} E_n} f \, \mathrm{d}\mu = \sum_{n} \int_{E_n} f\, \mathrm{d}\mu$$

Este concepto de integral puede interpretarse informalmente como una “suma” de los valores que alcanza la función. Si tenemos una función positiva podemos hacer el mismo proceso haciendo el “producto” de los valores, dando lugar a la integral geométrica:

$$\prod_M f(x)^{\mathrm{d}\mu} = \exp\left(\int_M \log f(x) \, \mathrm{d}\mu\right)$$

Ejemplos

1. Las integrales respecto de la cardinalidad sobre un conjunto finito corresponden con la suma y el producto de los valores de la función. Esto es, si $I=\{1,\dots,n\}$ y $f: I \to \mathbb{R}^+$ sus integrales son:

   $$\int_I f \, \mathrm{d}\mu = \sum_{i=1}^{n} f(i)$$ $$\prod_I f^{\mathrm{d}\mu} = \prod_{i=1}^{n} f(i)$$

   Si el número de elementos es infinito entonces la integral se corresponde con el supremo de las sumas o productos parciales.

2. En un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{E}, P)$ dada una variable aleatoria integrable se tiene que:

   $$\int_\Omega X \,\mathrm{d}P = \mathbb{E}[X]$$

   El caso geométrico se llama integral geométrica y cumple propiedades análogas a la esperanza. Por ejemplo, existe una versión de la ley de los grandes números geométrica: si $X_i$ es una sucesión de variables i.i.d. se tiene que:

   $$\sqrt[n]{X_1\cdots X_n} \overset{P}{\to} \prod_\Omega X^{\mathrm{d}P}$$

3. La integral dada por la medida de Lebesgue es la integral usual en $\mathbb{R}^n$.

4. La integral y la integral geométrica de la medida de Dirac coinciden. Si $x \in A$ y tenemos una función $f:A \to \mathbb{R}^+$ tenemos que:

   $$\int_A f \, \mathrm{d}\delta_x = \prod_A f^{\mathrm{d}\delta_x} = f(x)$$

5. Dada una medida $\mu$ y un múltiplo suyo $\lambda\mu$ tenemos que:

   $$\int_M f \,\mathrm{d}\lambda\mu = \lambda\int_M f \,\mathrm{d}\mu$$ $$\prod_M f^{\mathrm{d}\lambda\mu} = \left(\prod_M f^{\mathrm{d}\mu}\right)^\lambda$$

Medias de una función

A partir del concepto de integral podemos definir la media aritmética y geométrica de una función integrable, que generalizan las medias ya conocidas en el caso discreto. Aunque no las tratamos aquí la media armónica y la media cuadrática también pueden generalizarse.

Definición 3

Dada un espacio de medida $M$ con medida total finita y una función integrable $f:M \to \mathbb{C}$, la media aritmética de $f$ es:

$$A(f) = \frac{1}{\mu(M)}\int_M f(x)\;\mathrm{d}\mu$$

Análogamente podemos hacerlo para el caso geométrico:

Definición 4

En la situación anterior, si $f(M) \subseteq \mathbb{R}^+$ la media geométrica de $f$ es:

$$G(f) = \left(\prod_M f(x)^{\mathrm{d}\mu}\right)^{\frac{1}{\mu(M)}}$$

indicamos la medida como subíndice en caso de que sea necesario.

Algunas propiedades

• Es fácil ver que la media aritmética de una variable aleatoria coincide con su esperanza. Este hecho tiene una versión recíproca. Si $(M,\mathcal{A},\mu)$ es una medida tal que $\mu(M) < \infty$ podemos construir un espacio de probabilidad con la probabilidad

  $$P_\mu(A) = \frac{\mu(A)}{\mu(M)}$$

  En este caso tenemos que si tomamos $f: M \to \mathbb{C}$ se tiene que

  $$A(f) = \mathbb{E}_{P_\mu}[X]$$

  Esto nos da una interpretación probabilística de la media aritmética de una función; por ejemplo si $f:[a,b] \to \mathbb{C}$ es una función integrable tenemos que:

  $$A(f) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \mathbb{E}[f(X)]$$

  donde $X$ sigue una distribución uniforme sobre $[a,b]$.

• En el caso de funciones continuas reales de variable real podemos hallar una consecuencia sencilla del teorema del valor medio. Dada $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ continua existe un punto $\xi \in [a,b]$ tal que $A(f) = f(\xi)$

• La media aritmética de una función está acotada por las cotas de la función. Por ejemplo, si tenemos un compacto $M$ y una función continua $f:M \to \mathbb{R}$ se cumple que:

  $$\min_{x \in M} f(x) \leq A(f) \leq \max_{x \in M} f(x)$$

La desigualdad de las medias

Sean $x_1, \dots, x_n$ valores positivos. La desigualdad de las medias aritmética-geométrica nos indica que se verifica:

$$\frac1n\sum_i x_i \geq \left(\prod_i x_i\right)^\frac1n$$

En el caso de que $f$ tome valores reales positivos podemos generalizar esta desigualdad al caso general, esto es:

$$A(f) \geq G(f)$$

para cualquier $f$ integrable en un espacio de medida. Esta desigualdad es una consecuencia de la desigualdad de Jensen, que nos indica:

Desigualdad de Jensen

Sea $(M, \mathcal{A}, \mu)$ un espacio de medida, $f:M \to \mathbb{R}$ y $\varphi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una

función convexa. Entonces:

$$\varphi\left(\frac{1}{\mu(M)} \int_M f \, \mathrm{d}\mu \right) \leq \frac{1}{\mu(M)} \int_M \varphi \circ f \,\mathrm{d}\mu$$

Dada $f$ basta aplicar la desigualdad con $\varphi$ la función exponencial sobre la media aritmética de $\log f$ para obtener el resultado. En el caso de la medida de Lebesgue la desigualdad queda:

$$\frac{1}{\mu(M)} \int_M f(x) \, \mathrm{d}x \geq \left(\prod_M f(x)^{\mathrm{d}x}\right)^{\frac{1}{\mu(M)}}$$

Medias ponderadas

Dado un espacio de medida $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ podemos utilizar una función integrable $g$ para construir otra medida $\mu_g$ sobre el mismo espacio, que podemos interpretar como una medida ponderada por $g$:

$$\mu_g(A) = \int_A g \, \mathrm{d}\mu$$

En este caso la integral de una función $f$ puede calcularse como:

$$\int_M f \,\mathrm{d}\mu_g = \int_M fg \,\mathrm{d}\mu$$

Utilizando esta medida podemos construir y generalizar medias ponderadas. El caso más común es el uso de una función masa de probabilidad o una función de densidad con las que expresar una distribución de probabilidad.

Además podemos obtener otros casos particulares de la desigualdad de las medias. Por ejemplo, en el caso discreto si tomamos una función de pesos $\omega: I \to \mathbb{R}$ tal que $\sum_{i} \omega(i) = 1$ tenemos la desigualdad ponderada de las medias:

$$\sum_{i=1}^n \omega_ix_i = A_{\omega}(x) \geq G_{\omega}(x) = \prod_{i=1}^n x_i^{\omega_i}$$

En el caso de la medida de Lebesgue (con una función que integra 1) la desigualdad queda:

$$\int_M \omega(x)f(x) \,\mathrm{d}x \geq \prod_M f(x)^{\omega(x)\,\mathrm{d}x}$$